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Vortrag: Quadratische Formen - Quadrate in \( F_p \) und \( \mathbb{Q}_p \)
19. Nov 2017
As part of my study program, I attended a seminar in which students prepare and give lectures about a topic of their choice. In my seminar the general theme was quadratic forms and working towards Lagrange's four-square theorem. Unfortunately, the language of the seminar is German so these notes are also written in German.
Dieser Aufschrieb ist in zwei Teile und zwei Posts gegliedert:
In diesem zweiten Teil werden Ergebnisse aus Teil 1 verwendet.

Quadrate in endlichen Körpern

Zunächste eine kurze Wiederholung von Begriffen aus Algebra 1, bzw. Ring- und Körpertheorie.

Endliche Körper

Sein \( K \) ein endicher Körper. Dann ist der Kern des kanonische Ring Homomorphismus
\[ \varphi: \mathbb{Z} \to K~,\qquad 1 \mapsto 1_K \]
\( \text{kern}(\varphi) = p\mathbb{Z} \), wobei \( p \) prim ist. Beachte, dass \( \varphi \) nicht notwendiger Weise surjektiv ist. Aufgrund des Isomorphie-Satzes ist \( \text{im}(\varphi) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \), \( p = \text{char}(K) \) und \( \text{im}(\varphi) \subseteq K \) ist Teilkörper.
Dieser Restklassen Ring wird auch Primkörper von \( K \) genannt. Da \( K \) endlich ist, ist die Körpererweiterung \( K / \text{im}(\varphi) \) notwendigerweise endlich erzeugt. Es folgt, dass der Grad \( [ K : \text{im}(\varphi) ] = n \in \mathbb{N} \) und \( |K| = p^n \). Somit hat jeder endliche Körper \( q = p^n \) Elemente.
Weiterhin, gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit \( q = p^n \) Elementen, bezeichnet als \( F_q \).

Quadratzahlen

Ein Element \( x \in K \) heißt Quadrat, wenn ein Element \( y \in K \) existiert, sodass \( x = y^2 \).
Satz. Sei \( q = p^n \) wobei \( p \) prim. Falls \( p = 2 \) sind alle Element im endlichen Körper \( F_q \) Quadrate. Falls \( p \neq 2 \), dann bilden die Quadrate in \( F_q^\times \) eine Untergruppe von \( F_q^\times \) mit Index \( \big( F_q^\times : (F_q^{\times})^2\big) = 2 \). Diese ist der Kern des Gruppenhomomorphismus
\[ \psi: F_q^\times \to \{ \pm 1 \}~\cong~\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}~,\qquad x \mapsto x^{(q - 1) / 2}. \]
Beweis. Falls \( p = 2 \) und somit \( |F_q^\times| \) ungerade, folgt dass
\[ \varphi: F_q^\times \to F_q^\times~,\qquad x \mapsto x^2 \]
ein Gruppenautomorphismus ist, da der Kern \( \text{kern}(\varphi) = \{ 1 \} \) trivial und der Homomorphismus somit injektiv ist. Beachte, dass alle Elemente im Kern Ordnung 2 haben, was nach dem Satz von Lagrange nur \( 1 \) im Kern zulässt (die Ordnung aller Elemente teilt \( q - 1 \) und nur 1 teilt sowohl \( q - 1 \) als auch \( 2 \)).
Sei \( \Omega \) der algebraische Abschluss von \( F_q \) und \( y \in \Omega \) sodass \( y^2 = x \in F_q^\times \). Dann
\[ y^{q - 1} ~=~ x^{(q-1)/2} \in \{\pm 1\} \]
da \( x^{q-1} = 1 \) (\( F_q^\times \) is zyklisch). Falls nun \( y \in F_q^\times \), dann ist \( x \) ein Quadrat. Das ist genau dann der Fall wenn \( y^{q - 1} = 1 \). Also sind die Quadrate \( (F_q^{\times})^2 \) genau der Kern des Homomorphismus \( \psi \) und bilden eine Untergruppe. Weiterhin ist \( (F_q^\times)^2 \) zyklisch (als Untergruppe einer zyklischen Gruppe) mit Index 2, da \( | \text{im}(\psi)| = |\{\pm 1\}| = 2 \). Folglich sind genau die Hälfte der Elemente in \( F_q^\times \) Quadrate in \( F_q \).

Das Legendre-Symbol

Das Legendre-Symbol ist eine Abbildung, die angibt ob eine Zahl \( x \in \mathbb{Z} \) ein Quadrat in \( F_p \) (für \( p \neq 2 \) prim) ist, bzw. ob \( x \) ein quadratischer Rest modulo \( p \) ist. So definiert man
\[ \bigg(\frac{x}{p}\bigg)~=~\begin{cases} 0 &\text{falls}~~x = 0 \\ 1 &\text{falls}~~x^{(p-1)/2} = 1 \\ -1 &\text{falls}~~x^{(p-1)/2} = -1 \end{cases} \]
und falls \( x \in F_p^\times \) das Quadrat der Zahl \( y \) im algebraischem Abschluss von \( F_p \) ist, so folgt \( \big(\frac{x}{p}\big) = y^{p-1} \).
Satz. Quadratisches Reziprozitätsgesetz. Gauss. Für ungerade, verschiedene Primzahlen \( x, p \) kann das Legendre-Symbol durch sukzessive Reduktion direkt berechnet werden (ohne Beweis).
Für \( p \neq 2 \) und \( x \in \{ -1, 1, 2\} \) gilt
  1. \( \big(\frac{1}{p}\big) = 1 \)
  2. \( \big(\frac{-1}{p}\big) = (-1)^{\varepsilon(p)} \)
  3. \( \big(\frac{2}{p}\big) = (-1)^{\omega(p)} \)
wobei man
\[ \begin{alignat*}{2} \varepsilon(n) &~\equiv~ \frac{n-1}{2}~~(\text{mod}~2) &&~=~ \begin{cases} 0&\text{falls}~~n \equiv 1~(\text{mod}~4) \\ 1&\text{falls}~~n \equiv 3~(\text{mod}~4) \end{cases} \\ \omega(n) &~\equiv~ \frac{n^2-1}{8}~(\text{mod}~2) &&~=~ \begin{cases} 0&\text{falls}~~n \equiv \pm 1~(\text{mod}~8) \\ 1&\text{falls}~~n \equiv \pm 5~(\text{mod}~8) \end{cases} \end{alignat*} \]
für ungerade ganze Zahlen \( n \) definiert.
Beweis. Für (1) folgt aus \( 1 = 1^2 \) direkt \( \big(\frac{1}{p}\big) = 1 \). Für (2) beachte, dass \( (-1)^m = 1 \) genau dann wenn \( m \) gerade (oder 0) ist. Nun gilt hier \( m = (p - 1)/2 \) und \( m \) ist gerade falls
\[ (p - 1) \equiv 0 ~(\text{mod}~4) ~\Longleftrightarrow~ p \equiv 1~(\text{mod}~4). \]
Setzt man \( n = p \) so folgt die Behauptung direkt aus der Definition von \( \varepsilon \). Beachte, \( \varepsilon \) wohldefiniert ist, da 0 und 2 nicht als Rest bei der Division einer ungeraden (prim) Zahl durch 4 auftreten können.
Nun zu (3). Hier verwendet man, dass für primitive 8-te Einheitswurzeln, z.B. \( \omega_1 = e^{2\pi i / 8} \) in \( \mathbb{C} \) gilt, dass
\[ \omega_1 + \omega_1^{-1} = \omega_1 + \overline{\omega_1} = 2\text{Re}(\omega_1)= \sqrt{2}~. \]
Entsprechend ist 2 ein Quadrat in \( \mathbb{C} \), nämlich \( 2 = z^2 \) mit \( z := w_1 + w_1^{-1} \).
Angenommen man hat nun eine primitive 8-te Einheitswurzel \( \alpha \) im algebraischen Abschluss \( \Omega/F_p \). Dann ist \( 2 = y^2 = (\alpha + \alpha^{-1})^2 \). Analog zu dem Beispiel in \( \mathbb{C} \) gilt
\[ \alpha^4 = -1 ~\Longleftrightarrow~\alpha^{2}+ \alpha^{-2} = 0~\Longleftrightarrow~\alpha^2 + 2\alpha\alpha^{-1} + \alpha^{-2} = 2\alpha\alpha^{-1} ~\Longleftrightarrow~(\alpha + \alpha^{-1})^2 = 2 \]
und weiterhin ist \( y^p = \alpha^p + \alpha^{-p} \). Beachte dafür, dass für \( 0 < k < p \)
\[ \binom{p}{k} ~=~ \frac{p!}{k!(p-k)!}~\equiv~0~(\text{mod}~p)~. \]
Ist nun \( p \equiv \pm 1~(\text{mod}~8) \), so gilt \( y^p = \alpha + \alpha^{-1} = y \) und \( y^{2(p-1)} = 2 \), sowie \( y^{p-1} = 1 \). Nach obigem Satz gilt nun \( \big(\frac{2}{p}\big) = 1 \). Falls \( p \equiv \pm 5~(\text{mod}~8) \), so gilt \( y^p = \alpha^5 + \alpha^{-5} = -\alpha - \alpha^{-1} = -y \) und \( y^{p-1} = -1 \). Entsprechend ist \( \big(\frac{2}{p}\big) = -1 \). Die Wohldefiniertheit von \( \omega \) folgt analog zur Wohldefiniertheit von \( \varepsilon \).

Quadrate in \( \mathbb{Q}_p^\times \)

In diesem letzte Abschnitt werden die Quadrate in \( \mathbb{Q}_p^\times \) näher betrachtet. Dafür sind die Strukturaussagen aus dem letzten Abschnitt nützlich und die Frage nach einem Quadrat in kann auf Quadrate in \( F_p^\times \) reduziert werden.
Satz. Sei \( p \neq 2 \). Schreibe \( x \in \mathbb{Q}_p^\times \) als \( x = p^{z}u \), wobei \( z \in \mathbb{Z} \) und \( u \in U \). Dann ist \( x \) genau dann ein Quadrat in \( \mathbb{Q}_p^\times \) wenn \( 2|z \) und \( \overline{u} = \varepsilon_1(u) \in F_p^\times \) ein Quadrat ist.
Beweis. Schreibt man \( u \) als \( (\bar{u}, u_1) \in F_p^\times \times U_1 \), dann ist \( u \) genau dann ein Quadrat wenn \( z \) gerade ist (damit \( p^{\pm z/2}\cdot p^{\pm z/2} = p^{z} \)) und sowohl \( \bar{u} \) als auch \( u_1 \) Quadrate in \( F_p^\times \), bzw. \( U_1 \) sind.
Da \( U_1 \) isomorph zu der additiven Gruppe \( \mathbb{Z}_p \) ist und \( x + x = u_1 ~\Longleftrightarrow~ x = 2^{-1}u_1 \) für \( x \in \mathbb{Z}_p \) gilt sind alle Elemente in \( U_1 \) Quadrate (da \( 2^{-1} \in \mathbb{Z}_p \)). Somit folgt bereits die Aussage.
Satz. Sei \( p = 2 \). Ein Element \( x = p^zu \in \mathbb{Q}_2^\times \) mit \( z \in \mathbb{Z} \) und \( u \in U \) ist genau dann ein Quadrat wenn \( 2|z \) und und \( u \equiv 1 ~(\text{mod}~8) \). Equivalent zu der zweiten Bedingung kann man \( u \in U_3 \) fordern.
Beweis. Die Bedingung \( 2|z \) wurde bereits für \( p \neq 2 \) erklärt. Im Fall \( p = 2 \) gilt allgemein, dass \( u \in U_1 \), sowie \( u =(\pm u, \pm 1) \in U_2 \times \{\pm 1\} \) nach Struktursatz für \( U_1 \). Ist nun \( u \notin U_2 \), so folgt \( u = (-u, -1) \), das kein Quadrat ist, da \( -1 \) kein Quadrat in \( \{\pm 1\} \) ist (bzw. im additiven Kontext \( 1 \) kein Quadrat in \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) ist).
Demnach ist \( u \) genau dann ein Quadrat, wenn \( u \in U_2 \) und dort ein Quadrat ist. Nach Struktursatz für \( U_1 \) gilt weiterhin, dass \( U_2 \cong \mathbb{Z}_p \) und \( u \in U_2 \) genau dann ein Quarat ist, falls ein \( x \in \mathbb{Z}_2 \) existiert, sodass \( 2x = \theta_\alpha^{-1}(u) =: y \), wobei \( \theta_\alpha \) der Isomorphismus \( \mathbb{Z}_2 \to U_2 \) im Beweis der Proposition zur Struktur von \( U_1 \) ist. Insbesondere ist \( y \) genau dann ein Quadrat, wenn \( y \in 2\mathbb{Z}_2 \). Durch den Isomorphismus \( \theta_{\alpha} \) wird \( 2\mathbb{Z}_2 \) auf \( U_3 \) (isomorph) abgebildet. Unvollständig. Insgesamt ist also \( u \) genau dann ein Quadrat, falls \( u \in U_3 \), bzw. \( u \equiv 1~(\text{mod}~8) \).
Korollar. Aus diesen beiden Sätzen folgt, dass die Quadrate in \( \mathbb{Q}_p^\times \) eine Untergruppe bilden und man sich nun die Struktur des Quotienten nach den Quadraten anschauen kann.
Für \( p \neq 2 \) ergibt sich die Struktur der Quotientengruppe direkt aus der obigen Zerlegung. Insbesondere gilt \( \mathbb{Q}_p^\times/(\mathbb{Q}_p^{\times})^{2} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \). Zum Beispiel kann man \( \{1, p, u, up \} \) mit \( \big(\frac{u}{p}\big) = -1 \) (also u ist kein Quadrat in \( F_p \)) als Repräsentanten wählen. Beachte hierfür, dass \( (p^z)^2 = p^{2z} \) und \( \big(\frac{u^2}{p}\big) = \big(\frac{u}{p}\big)^2 \).
Für \( p = 2 \) gilt, dass \( \mathbb{Q}_2^\times / (\mathbb{Q}_2^\times)^2 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \). Jede der drei Komponenten entspricht einer der Forderungen an Quadrate in \( \mathbb{Q}_2^\times \) (siehe Beweis des letzten Satzes). So muss \( 2|z \) (induziert Ordnung 2, analog zum Fall \( p \neq 2 \)) und es gilt \( u = (\pm u, \pm 1) \), welches bereits die Struktur eines direkten Produktes besitzt, die sich direkt zu \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) übersetzt. Unvollständig.