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Vortrag: Quadratische Formen - Struktur der Gruppe \( \mathbb{Q}_p^\times \)
04. Nov 2017
As part of my study program, I attended a seminar in which students prepare and give lectures about a topic of their choice. In my seminar the general theme was quadratic forms and working towards Lagrange's four-square theorem. Unfortunately, the language of the seminar is German so these notes are also written in German. I'd prefer English, since the main piece of literature, Algebraic Number Theory by Serge Lang, is written in English (translated actually).
Wie dem auch sei ..
Dieser Aufschrieb ist in zwei Teile und zwei Posts gegliedert:

Die p-Adischen Zahlen

Die \( p \)-adischen Zahlen können in unterschiedlicher Weise konstruiert, bzw. definiert werden. Für mich erscheint die direkte (algebraische) Konstruktion und anschließende Einbettung von \( \mathbb{Z} \) zielführend.
Für \( p \) betrachte den Restklassenring \( \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \) sowie den Ringhomomorphismus
\[ \Phi_n: \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^{n - 1}\mathbb{Z}~,\qquad x \mapsto x ~\text{mod}~p^{n-1} \]
mit Kern \( p^{n-1}(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}) \) und Bild \( \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \). Im Kern sind also alle durch \( p^{n-1} \) teilbaren Elemente aus \( \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z} \).
Definition. Die Menge der Folgen
\[ (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \big(~\cdots \times (\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}, \Phi_{n}) \times \cdots \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, \Phi_{1})\big) ~=~\lim_\leftarrow~(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z},\Phi_n) =:~\mathbb{Z}_p \]
mit \( x_n \in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \) sowie \( x_n \equiv x_{n-1}~(\text{mod}~p^{n-1}) \) für alle \( n > 1 \) wird mit \( \mathbb{Z}_p \) bezeichnet und die \( p \)-adischen Zahlen genannt. Man fordert hier also \( \Phi_n(x_n) = x_{n-1} \). Sie bilden einen Ring mit kompontentweiser Addition und Multiplikation modulo \( p^n \) (in der \( n \)-ten Komponente).
Hierzu wird auch der Begriff des projektiven Limes verwendet.
Notiz. Einige Beobachtungen.
  • \( \cdots \supset~ \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} ~\supset~ \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} ~\supset~ \cdots ~\supset~ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \).
  • 1-Element ist \( (1)_{n\in\mathbb{N}} \) und 0-Element ist \( (0)_{n\in\mathbb{N}} \).
  • Durch den injektiven Homomorphismus \( x \mapsto (x + p^n)_{n\in\mathbb{N}} \) sind die ganzen Zahlen in \( \mathbb{Z}_p \) eingebettet. Beispielsweise gilt \( 13 \mapsto (\ldots, 13, 13, 5, 1, 1) \) für \( p = 2 \).
  • Das additive Inverse von \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) ist gegeben durch \( (p^n - x_n)_{n\in\mathbb{N}} \). Das additive Inverse von 13 in \( \mathbb{Z}_2 \) ist \( (\ldots, 51,19,3,3,3,1) \equiv (\ldots, -13, -13, -13,-5,-1,-1) \).
  • Ein Element \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{Z}_p \) ist invertierbar genau dann wenn \( x_1 \neq 0 \), da somit \( p \nmid x_1 ~\Longrightarrow~p\nmid x_n~\forall n\in\mathbb{N} \) und folglich \( x_n \in (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
  • Alle ganzen Zahlen, die nicht durch \( p \) teilbar sind haben somit ein multiplikatives Inverses in \( \mathbb{Z}_p \). Die einzigen Einheiten in \( \mathbb{Z} \) sind hingegen \( \pm 1 \).
Proposition. Die Abbildung \( \varepsilon_n : \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \) gegeben durch \( (x_k)_{k\in\mathbb{N}} \mapsto x_n \) ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern \( p^n\mathbb{Z}_p \). Somit gilt gemäß dem Homomorphie-Satz \( \mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \).
Notiz. Elemente in \( p^n\mathbb{Z}_p \) haben die Form \( (\ldots, p^nx_{n+2},p^nx_{n+1},0,\ldots,0) \). Weiterhin ist die Abbildung \( x \mapsto p^nx \) ein injektiver Ringhomomorphismus, da \( x \mapsto p^nx = 0 \) genau dann wenn \( x = 0 \).

Der Quotientenkörper \( \mathbb{Q}_p \)

Proposition. Die Gruppe der Einheiten von \( \mathbb{Z}_p \) wird als \( U \) bezeichnet. Sei \( 0 \neq x \in \mathbb{Z}_p \), dann existiert die Zerlegung \( x = p^nu \) für eine eindeutig bestimmte Einheit \( u \in U \) und eindeutiges \( n \in \mathbb{N} \).
Beweis. Da \( x \neq 0 \), existiert ein minimales \( m \in \mathbb{N} \), sodass \( \varepsilon_{m+1}(x) \neq 0 \). Wählt man nun \( u \in U \) mit \( u_i = x_{m + i} \) für \( i \in \mathbb{N} \), so ist \( x = p^mu \). Man verschiebt also die Folgenglieder von \( x \) soweit "nach rechts", also gegen Index 1, dass die Folge nicht mit einer 0 beginnt und entsprechend invertierbar ist.
Gleichheit und Eindeutigkeit folgt aus der Injektivität der Multiplikation von \( p^m \) (siehe letzte Notiz).
Aus dieser Proposition folgt, dass \( \mathbb{Z}_p \) ein Integritätsbereich ist. Für alle \( x,y\in\mathbb{Z}_p \setminus \{0\} \) mit \( x = p^ru_1 \) und \( y = p^su_2 \) gilt \( xy = p^{r+s}u_1u_2 \) mit \( \varepsilon_{r+s+1}(xy) \neq 0 \) (da \( u_1u_2 \in U \)) und somit \( xy \neq 0 \), wobei \( r,s \in \mathbb{N} \).
Man kann nun den Quotientenkörper \( \mathbb{Q}_p \) über \( \mathbb{Z}_p \) definieren. Insbesondere gilt \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \), da man für \( \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}, ~b \neq 0 \) die Einbettung \( b' = (b + p^n)_{n\in\mathbb{N}} \) ein geeignets, eindeutiges \( u \in U \) und \( n \in \mathbb{N} \) finden kann, sodass \( b' = p^nu \). Dann ist \( b'^{-1} := p^{-n}u^{-1} \) das Inverse zu \( b' \) wodurch nun \( ab^{-1} \in \mathbb{Q} \) als \( a'b'^{-1} \in \mathbb{Q}_p \) eingebettet ist.
Entsprechend ist \( \mathbb{Q}_p = \mathbb{Z}_p[p^{-1}] \).

Die Multiplikative Gruppe von \( \mathbb{Q}_p \)

Die multiplikative Gruppe \( \mathbb{Q}_p^\times \) hat eine besondere Struktur. Direkt aus der obigen Proposition folgt, dass \( \mathbb{Q}_p^\times = \mathbb{Z} \times U \). So hat jedes (von 0 verschiedenes) Element \( x \in \mathbb{Z}_p \) die eindeutige Darstellung \( x = p^nu \) mit \( n\in\mathbb{N} \) und \( u\in U \). Schreibt man nun \( x = (n, u) \), so ist \( x^{-1} := (-n,u^{-1}) \) invers zu \( x \).
Im Folgenden hat der Homomorphismus
\[ \varepsilon_n: U \to (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times~,\qquad (\ldots, x_{n+1}, x_n,x_{n-1},\ldots, x_0) \mapsto x_n \]
der eine Einheit auf die \( n \)-te Komponente projiziert eine wichtige Bedeutung. Man definiert
\[ U_n ~=~ \text{kern}(\varepsilon_n) ~=~ 1 + p^n\mathbb{Z}_p ~=~ \big\{(\ldots, x_{n+2}, x_{n+1}, 1, 1, \ldots, 1)~|~x_{i} \in (\mathbb{Z}/p^{i}\mathbb{Z}, \Phi_i)\big\}. \]
Notiz. Wichtig hierbei ist, dass die Folgenelemente \( \Phi_i \) genügen. Entsprechend kommen zum Beispiel für \( x_{n+1} \) nur \( \{ 1, 1 + p, 1 + p^2, \ldots, 1 + p^{n} \} \subsetneq \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z} \) in Frage.
Beachte außerdem, dass \( x_n = 1 ~\Longrightarrow~ x_k = 1 \) für \( k < n \). Es gilt nämlich, dass
\[ x_n = qp^n+1 = qpp^{n-1} + 1 = q'p^{n-1} + 1 \]
mit eindeutigem \( q, q' \) und eindeutigem Rest, da \( \mathbb{Z} \) ein euklidischer Ring ist.
Die multiplikativen Gruppen \( U_n \) bilden eine absteigende Folge von Untergruppen von \( U \), sodass
\[ \cdots \subset U_{n+1} \subset U_n \subset U_{n-1} \subset \cdots \subset U_1 \subset U. \]
Nun betrachtet man Quotienten dieser Gruppen. So ist
  1. \( U/U_1 ~\cong~ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times ~=~ F_p^\times \) mit Ordnung \( p - 1 \)
  2. \( U/U_n ~\cong~ (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times ~=~ F_{q}^\times~,q = p^n \) mit Ordnung \( \varphi(p^n) = p^{n-1}(p-1) \)
  3. \( U_{n}/U_{n+1} ~\cong~ \{1 + p^nx ~|~x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\} ~\cong~\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) mit Ordnung \( p \)
  4. \( U_1 / U_n ~\cong~\{1 + px~|~x \in \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z}\} ~=:~W_n \) mit Ordnung \( p^{n-1} \)
(1) und (2) folgen durch die Einschränkung von \( \varepsilon_n \) auf \( U \) (statt \( \mathbb{Z}_p \) aus dem obigen Abschnitt). In (2) bezeichnet \( \varphi \) die Eulersche Phi-Funktion.
Der Normalteiler in (3) ist \( \text{kern}(\varepsilon_n) = U_{n-1} \) wenn \( \varepsilon_n \) auf \( U_{n+1} \) eingeschränkt wird. Man erhält so eine (multiplikative) Untergruppe von \( (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times \) und einen Isomorphismus zur (additiven) Gruppe \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) dem die Äquivalenz
\[ (1 + p^nx)(1+p^ny) ~\equiv~ 1 + p^n(x+y)\quad(\text{mod}~p^{n+1}) \]
zugrunde liegt, wobei \( x,y \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \). Induktiv erhält man (4).
Notiz. Beachte insbesondere, dass \( W_n \) eine multiplikative Untergruppe von \( (\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})^\times \) ist.

Die Struktur von \( U_1 \)

Lemma. Sei \( x \in U_n - U_{n+1} \) (Mengen-Differenz) wobei \( n \geq 1 \) falls \( p \neq 2 \) und \( n \geq 2 \) falls \( p = 2 \). Dann ist \( x^p \in U_{n+1} - U_{n+2} \).
Notiz. Gegenüberstellung von vor/nach der Abbildung \( x \mapsto x^p \):
\[ \begin{matrix} (~\cdots & \neq 1 & \neq 1 & 1 & 1 & \cdots & 1~) \\ (~\cdots & \neq 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots &1~) \end{matrix} \]
Beweis. Gemäß der Annahme lässt sich \( x \) schreiben als \( x = 1 + kp^n \), wobei \( k \in \mathbb{Z}_p \) mit \( k \neq 0~(\text{mod}~p) \), bzw. äquivalent \( k \in U \).
Nun gilt
\[ x^p = (1+kp^n)\cdots(1+kp^n) = 1 + pkp^n + \cdots + k^pp^{pn} \]
wobei alle ausgelassenen Terme Potenzen von \( p \) größer als \( n + 1 \) enthalten. Somit ist
\[ x^p ~\equiv~ 1 + kp^{n+1}~(\text{mod}~p^{n+2}) \]
und \( x^p \in U_{n+2} - U_{n+1} \).
Notiz. Dieses Lemma gilt nicht für \( n = 1 \) falls \( p = 2 \). In diesem Fall ist \( x^2 = (1 + k2)(1+k2) = 1 + k2^2 + k^22^2 \). Hier fällt der letzte Term nun nicht modulo \( 2^3 \) weg. Betrachtet man \( x = (\cdots, 7, 3, 1) \in U_1 - U_2 \) so ist \( x^2 = (\cdots, 1, 1, 1) \notin U_2 - U_3 \).
Proposition. Für \( p \neq 2 \) ist die Gruppe \( W_n \subset (\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})^\times \) aus (4) ist isomorph zu der additiven Gruppe \( \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \). Somit auch \( U_1/U_n \cong \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \).
Wählt man ein Element \( \alpha \in U_1 - U_2 \) (zum Beispiel \( \alpha = 1 + p \)) und definiere
\[ \alpha_n := \varepsilon_n(\alpha) \in W_n ~\cong~ U_1/U_n~. \]
Nach obigem Lemma gilt nun, dass \( \alpha^{p^i} \in U_{i + 1} - U_{i + 2} \) und da \( \varepsilon_n \) ein Homomorphismus ist folgt
\[ 1 ~\neq~ \varepsilon_n\big(\alpha^{p^{n-2}}\big) ~=~ \alpha_n^{p^{n-2}}~,\qquad 1 ~=~ \varepsilon_n\big(\alpha^{p^{n-1}}\big) ~=~ \alpha_n^{p^{n-1}} \]
für die Wahl \( i = n - 2 \) und \( i = n - 1 \). Daraus folgt, dass das Element \( \alpha_n \) Ordnung \( n^{p-1} \) in der Gruppe \( W_n \) hat: Angenommen es hätte Ordnung \( p^{k} < p^{n-1} \) (die Ordnung muss \( p^{n-1} \) teilen), so wäre
\[ 1 = \big(\alpha_n^{p^k}\big)^{p^{n-2-k}} = \alpha_n^{(p^{n-2-k}) p^k}= \alpha_n^{p^{n-2}}. \]
Das ist ein Widerspruch zu \( \alpha_n^{p^{n-2}} \neq 1 \).
Da \( |W_n| = p^{n-1} \) folgt, dass \( W_n \) zyklisch ist und von \( \alpha_n \) erzeugt wird. Insbesondere gilt \( U_1/U_n ~\cong~ \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \).
Proposition. Für \( p \neq 2 \) gilt \( U_1 \cong \mathbb{Z}_p \).
Betrachte den Isomorphismus \( \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \cong U_1/U_n \) der letzten Proposition, gegeben durch
\[ \theta_{n,\alpha} : \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \to U_1/U_n~,\qquad z \mapsto \alpha_n^z \]
für \( \alpha \in U_1 - U_2 \) und \( \alpha_n = \varepsilon_n(\alpha) \). Das Diagramm
\[ \begin{matrix} \vdots & \vdots & \vdots \\ \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z} & \stackrel{\theta_{n+1,\alpha}}{\longrightarrow} & U_1/U_{n+1} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} & \stackrel{\theta_{n, \alpha}}{\longrightarrow} & U_1/U_n \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \stackrel{\theta_{2,\alpha}}{\longrightarrow} & U_1/U_2 \\ \end{matrix} \]
kommutiert, wobei \( \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \) durch \( \Phi_{n}: x \mapsto x~\text{mod}~p^{n-1} \) einbettet. Die \( \theta_{n, \alpha} \) induzieren nun einen komponentenweisen Isomorphismus \( \theta_\alpha := (\ldots, \theta_{n+1,\alpha}, \theta_{n,\alpha},\ldots, \theta_{2, \alpha}) \)
\[ \mathbb{Z}_p := \underset{\leftarrow}{\lim}~\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} ~~\stackrel{\theta_\alpha}{\longrightarrow}~~ \underset{\leftarrow}{\lim}~U_1/U_n = U_1 \]
wobei \( \underset{\leftarrow}{\lim}~U_1/U_n = U_1 \), was aus der universellen Eigenschaft des projektiven Limes und einem Topologie-Argument folgt. Unvollständig.
Proposition. Für \( p = 2 \) gilt \( U_2 \cong \mathbb{Z}_p \). Weiterhin gilt \( U_1 \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \).
Im Gegensatz zum Fall \( p \neq 2 \) betrachtet nun ein \( \alpha \in U_2 - U_3 \), zum Beispiel \( \alpha = 5 \). Ähnlich zu \( p \neq 2 \) gilt nun \( \alpha^{p^{n-2}} \in U_n - U_{n+1} \), woraus \( \alpha_n^{p^{n-2}} = 1 \) folgt. Die Gruppe \( U_2/U_n \) hat entsprechend \( p^{n-2} \) Elemente und ist durch den Isomorphismus
\[ \theta_{n, \alpha}: \mathbb{Z}/2^{n-2}\mathbb{Z} \to U_2/U_n~,\qquad z \mapsto \alpha_n^z \]
und ist zyklisch, analog zum Fall \( p \neq 2 \). Dies induziert nun den Isomorphismus \( \theta_\alpha: \mathbb{Z}_p \to U_2 \).
Weiterhin gilt \( U_1 - U_2 = (-1)U_2 \), da \( (-1)\cdot 1 \equiv 3~(\text{mod}~4) \). Es folgt \( (-1)U_2 \subset U_1 - U_2 \). Falls \( x \in U_1 - U_2 \), dann gilt \( (-1)x \in U_2 \), da \( (-1)\cdot 3 \equiv 1~(\text{mod}~4) \). Somit \( U_1 - U_2 \subset (-1)U_2 \). Die Behauptung folgt. Die Abbildung
\[ \varphi : U_1 \to U_2 \times \{\pm 1\}~,\qquad \varphi(u) = \begin{cases} (u, 1) & \text{falls}~u\in U_2 \\ ((-1)u, -1) & \text{falls}~u \in U_1 - U_2 = (-1)U_2 \end{cases} \]
ist ein Isomorphismus. Eben wurde gezeigt, dass \( \varphi \) eine bijektive Abbildung ist. Die Homomorphie Eigenschaft folgt aus \( 3\cdot 3 \equiv 1 ~(\text{mod}~4) \) (entspricht \( (-1)\cdot(-1) \)), sowie \( 3 \cdot 1 \equiv 3~(\text{mod}~4) \) und \( 1 \cdot 1 \equiv 1 ~(\text{mod}~4) \) für die Fälle \( (-1)\cdot 1 \) und \( 1 \cdot 1 \). Hier wurde jeweils die Komponente \( x_2 \) von \( x \in U_1 \) betrachtet. Diese entscheidet über die Zuordnung durch \( \varphi \).
Nun folgt die Proposition aus \( \{\pm 1\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \).

Die Struktur von \( U \)

Nach dem 3. Isomorphie-Satz gilt, dass \( U_1/U_n \) als Untergruppe in \( U/U_n \) (injektiv) eingebettet ist. Reduziert man \( (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times \) modulo \( p \) durch
\[ \begin{alignat*}{3} \psi_n &: (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times &\to F_p^\times~,\qquad& x\mapsto x~\text{mod}~p \\ \Psi_n &: U/U_n &\to F_p^\times~,\qquad& [x]\mapsto x~\text{mod}~p \end{alignat*} \]
erhält man nach Homomorphie-Satz als Kern die Gruppe \( W_n = \{ 1 + px ~|~ x \in \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z}\} \). Insgesamt
\[ \begin{matrix} U_1/U_n &\stackrel{(*)}{\longrightarrow}&U/U_n &\stackrel{\Psi_n}{\longrightarrow}&F_p^\times\\ \cong & & \cong & & = \\ W_n & \stackrel{(*)}{\longrightarrow} & (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times & \stackrel{\psi_n}{\longrightarrow} & F_p^\times \end{matrix} \]
wobei \( (*) \) die injektive Einbettung bezeichnet. Ebenso gilt, dass \( \text{kern}(\Psi_n) = U_1/U_n \) und \( \text{im}(\Psi_n) =: V_n \cong F^\times_p \).
Proposition. Es gilt \( U/U_n = V_n \times U_1/U_n \), wobei \( V_n = \{ x \in U/U_n ~|~x^{p-1} = 1\} \) eine (die) eindeutig bestimmte Untergruppe von \( U/U_n \) ist, sodass \( V_n \cong F_p^\times \).
Es gilt die Existenz, sowie die Eindeutigkeit von \( V_n \) zu zeigen. Um Verwirrung zu vermeiden und Notation zu vereinfachen wird folgendes allgemeines Resultat verwendet.
Lemma. Gegeben sei eine exakte Sequenz
\[ 0 \to A ~\stackrel{\varphi_1}{\longrightarrow}~ E ~\stackrel{\varphi_2}{\longrightarrow}~ B \to 0 \]
von (additiv notierten) kommutativen Gruppen mit \( |A| = a \) und \( |B| = b \) teilerfremd (insbesondere \( \varphi_1 \) injektiv, \( \varphi_2 \) surjektiv und \( \text{kern}(\varphi_2) = \text{im}(\varphi_1) \)). Bezeichnet \( B' = \{x \in E ~|~bx = 0\} \subset E \) so gilt \( E = A \oplus B' \) und \( B' \) ist die einzige Untergruppe von \( E \), sodass \( B' \cong B \).
Notiz. Die Bedingungen an \( \varphi_1, \varphi_2 \) sind äquivalent zu \( B \cong E / A \), falls \( A \subset E \). Außerdem impliziert die Bedingung \( \text{kern}(\varphi_2) = A \), dass \( A \subset E \) eine Untergruppe ist, was eine direkte Summe zulässt.
Beweis. Zunächst beachte, dass \( \mathbb{Z} \) ein euklidischer Ring ist und \( a,b \) teilerfremd. Somit exsitieren (eindeutig bestimmte) \( r,s \in \mathbb{Z} \), sodass \( ar + bs = 1 \).
Weiterhin gilt für \( x \in A \cap B' \) dass \( ax = bx = 0 \) und somit \( A \cap B = \{ 0 \} \). Außerdem lässt sich jedes \( x \in E \) schreiben als \( x = 1x = arx + bsx \).
Nun verwendet man die recht speziellen Forderungen an die Homomorphismen \( \varphi_1, \varphi_2 \). So gilt für alle \( x \in E, w \in \mathbb{N} \), dass \( \varphi_2(bwx) = bw\varphi_2(x) = 0 \) (da \( b = |B|) \), was \( bwx \in \text{kern}(\varphi_2) = \text{im}(\varphi_1) = A \) impliziert, da \( \varphi_1 \) eine Einbettung ist.
  • Setzt man \( w = a \), so gilt \( bax = 0 \), da \( bax \in \text{im}(\varphi_1) \) und \( |\text{im}(\varphi_1)| = |A| = a \) somit \( ax \in B' \) und auch ein Vielfaches \( arx \in B' \). Beachte, dass \( ax \) nicht notwendigerweise in \( \text{im}(\varphi_1) \) ist, da \( ax \) nicht notwendigerweise im \( \text{kern}(\varphi_2) \) ist. Der Faktor \( b \) ist entscheidend für dieses Argument.
  • Setzt man \( w = s \), so sieht man direkt, dass \( bsx \in \text{im}(\varphi_1) = A \).
Insgesamt ist \( x = arx + bsx \) also eine direkte Summe \( B' \oplus A \).
Weiterhin gilt für alle \( x = arx + bsx \in E \), dass \( \varphi_2(x) = \varphi_2(arx + bsx) = \varphi_2(arx) + 0 \). Zusammen mit der Surjektivität von \( \varphi_2 \) und unvollständig folgt, dass \( B' \cong B \). Falls \( B'' \subset E \) eine weitere zu \( B \) isomorphe Untergruppe ist, so muss gelten \( bB'' = 0 \), also \( B'' \subset B' \) und außerdem \( |B''| = |B'| \). Somit \( B'' = B' \). Daraus folgt die Eindeutigkeit von \( B' \).
Wendet man dieses Resultat nun auf die exakte Sequenz
\[ 1 ~\longrightarrow~ U_1/U_n ~\stackrel{(*)}{\longrightarrow}~ U/U_n ~\stackrel{\Psi_n}{\longrightarrow}~F_p^\times ~\stackrel{}{\longrightarrow}~ 1 \]
and folgt die Proposition direkt. Das Lemma darf angewendet werden, da \( |U_1/U_n| = |W_n| = p^{n-1} \) teilerfremd zu \( |F_p^\times| = p - 1 \) ist.
Notiz. Da nun die Gruppen multiplikativ sind entspricht \( bx = 0 \) aus dem Lemma nun \( x^b = 1 \), was die Form der Elemente in \( V_n = \{ x \in U/U_n ~|~x^{p-1} = 1\} \) erklärt.
Proposition. Es existiert eine eindeutige Untergruppe \( V \subset U \) mit \( V = \{ x \in U ~|~ x^{p-1} = 1\} \), sodass \( V \cong F_p^\times \) und \( U = V \times U_1 \).
Hierfür geht man zum projektiven Limes über, wobei die Isomorphie der \( V_n \) und Projektion \( U/U_{n} \to U/U_{n-1} \) genutzt wird. Unvollständig.

Die Struktur von \( \mathbb{Q}_p^\times \)

Satz. Die Gruppe \( \mathbb{Q}_p^\times \) ist isomorph zu
  • \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \) falls \( p \neq 2 \)
  • \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) falls \( p = 2 \).
Beweis. Es gilt \( \mathbb{Q}_p^\times \cong \mathbb{Z} \times U \), was bereits am Anfang dieses Abschnittes gezeigt wurde. Aufgrund der letzten Proposition gilt \( U \cong V \times U_1 \), wobei \( V \cong F_p^{\times} \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \). Beachte, dass \( F_2^\times = \{1\} \) trivial ist und daher nicht im direkten Produkt auftaucht (für \( p = 2 \)).
Es wurde in vorherigen Propositionen gezeigt, dass \( U_1 \cong \mathbb{Z}_p \) im Fall \( p \neq 2 \), bzw. \( U_1 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) im Fall \( p = 2 \).
Insgesamt folgt die Behauptung.